Ce cours est un enseignement de base en mathématiques permettant d'acquérir des outils utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie.
Il prépare aussi aux autres cours de mathématiques plus avancés, en particulier ceux du programme d'approfondissement/M1.
La 1ère partie (5 blocs) est consacrée à la théorie des fonctions holomorphes et la seconde (5 blocs) au calcul différentiel.
Ce cours présente une formation de base en analyse. Ce module permet de dominer les outils mathématiques utilisés dans les enseignements de mathématiques appliquées, physique, mécanique et économie. Il ouvre la voie aux programmes d’approfondissement de mathématiques de troisième année.
Le cours présente le formalisme des distributions, introduites par Laurent Schwartz à la fin des années 1940, qui fournit un cadre naturel pour l’étude de la transformation de Fourier. Il se concentre ensuite sur l’étude des propriétés fondamentales des principales équations aux dérivées partielles de la physique mathématique.
- Distributions, dérivation, convolution, régularisation.
- Transformation et séries de Fourier.
- Equations de Poisson et de Laplace. Fonctions harmoniques.
- Equation de la chaleur.
- Equation des ondes et de Schrödinger.
F. Golse: "Distributions, analyse de Fourier et équations aux dérivées partielles"
Appendice "Intégration sur les surfaces"
Langue du cours : Français
Dans ce modal, nous explorons la notion de pavages, et à travers elle celle de groupes et d'actions de groupes. Nous aborderons les résultats classiques de Bieberbach sur les pavages réguliers du plans, les fameux pavages apériodiques de Penrose, et les pavages affines du plan.
Références :
Pavage du plan, notes d’un mini cours donné à l’École polytechnique
http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups01.01.pdf
Langue du cours : Français
La théorie de Galois est née au XIX ème siècle pour étudier l'existence de formules pour les solutions d'une équation polynômiale (en fonction des coefficients de l'équation). Cette théorie, à la fois puissante et élégante, fut à l'origine d'un pan entier de l'algèbre moderne, et a depuis connu un développement considérable. Elle demeure un sujet de recherche extrêmement actif.
L'objet de ce cours est dans un premier temps d'introduire les bases et outils d'algèbre générale (groupes, anneaux, algèbres, quotients, extensions de corps...) qui permettront dans un deuxième temps de développer la théorie de Galois, ainsi que certaines de ses applications les plus remarquables.
Au delà de l'intérêt propre du sujet, le cours se veut être une bonne introduction à l'algèbre et à ses diverses applications, tant en mathématiques que dans d'autres disciplines (informatique avec les corps finis, physique ou chimie avec la théorie des groupes par exemple).
* les pré-requis :
Algèbre linéaire classique enseigné en classes préparatoires ou pendant deux premières années d'université.
* les acquis attendus en fin de module
Acquis théoriques :
- Connaissance des structures fondamentales de l'algèbre générale.
- Compréhension des concepts fondamentaux de la théorie de Galois (extensions galoisiennes, groupes de Galois)
- Maîtrise des exemples les plus importants (corps finis, extensions cyclotomiques, extensions résolubles).
- Maîtrise des principales applications historiques (résolubilité des équations polynômiales, constructibilité des polygônes réguliers).
Acquis pratiques :
- Manipulation des structures algébriques fondamentales, calcul de degrés d'extensions.
- Détermination du caractère galoisien d'une extension.
- Calcul de groupes de Galois, notamment par réduction modulo p.
- Applications de la théorie, notamment en théorie des nombres et des corps.
* les modalités d'évaluations des acquis du module
- un contrôle classant en fin du cours
- un devoir maison
Langue du cours : Français
The aim of this course is first to introduce basics and tools of general algebra (groups, rings, algebras, quotients, field extensions...) which will allow in the second part of the course to develop Galois theory, as well as some of its most remarkable applications.
Beyond the the interest on the subject for itself, the course aims at being a good introduction to algebra and its applications, in Mathematics and in other fields (for instance Computer science with finite fields, Physics and Chemistry with group theory).
*Prerequisites
Standard linear algebra from the first two years at University.
* Knowledge expected at the end of the course :
Theoretical knowledge :
- Knowledge of fundamental structures in general algebra.
- Knowledge of fundamental concepts in Galois theory (Galois extensions, Galois group)
- Most important examples (finite fields, cyclotomic extensions solvable extensions).
- Main historical applications (solvable polynomial equations, constructability of regular polygons).
Practical knowledge :
- Handling of fundamental algebraic structures, computation of degrees of extensions.
- Characterization of Galois extensions.
- Computation of Galois groups, method of reduction modulo p.
- Applications of the theory, in particular to number theory and fields theory
* Evaluation : exam at the end of the course.and one homework
Language : French
Ce cours pose les fondements de l’analyse fonctionnelle, à la fois en amont des applications aux équations aux dérivées partielles, both in preparation for its applications to partial differential equations (elliptic, parabolic, or hyperbolic), and as a gateway to the study of operator algebras.
The objective is to provide a broad overview of the theory of Banach spaces and of operators defined between them.
The course begins with geometric considerations: the study of convex sets, Helly’s theorem, the Hahn–Banach separation theorem, and the Krein–Milman theorem.
It then continues with the core theorems that form the backbone of functional analysis: the Baire category lemma, the Banach–Steinhaus theorem, the open mapping theorem, and the closed graph theorem.
We next devote a key chapter to weak and weak* topologies, which naturally lead to the Banach–Alaoglu theorem — a fundamental result that recovers a form of compactness in infinite-dimensional spaces.
After this journey through the “jungle” of infinite-dimensional Banach spaces, we will focus on two particularly important classes: reflexive and separable spaces, which possess especially nice and reassuring structural properties.
The following chapter introduces Banach algebras, which provide a unified framework encompassing various classical examples (such as the exponential of a matrix or of a linear operator). This chapter culminates in an elegant three-line proof — resting on ten pages of theory! — of a beautiful result due to Wiener concerning Fourier series.
We will then study the spectrum of operators, beginning with the Fredholm alternative, followed by the spectral properties of compact operators, and concluding with the theory of Fredholm operators, which generalize classical results from linear algebra to the infinite-dimensional setting. In particular, we will define the Fredholm index, which extends the familiar identity dim Ker u + dim Im u = dim E for any linear map u: E --> F between finite-dimensional vector spaces.
Finally, the last chapter offers an introduction to unbounded operators and the theory of operator semigroups, which provide the natural framework for studying many evolution-type partial differential equations. In this context, we will prove the Hille–Yosida theorem (more precisely, one of its formulations known as the Lumer–Phillips theorem), which gives sufficient conditions for an operator to be the infinitesimal generator of a strongly continuous semigroup.
