La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation unique des éléments comme produits d’éléments premiers, dans les anneaux de la forme ℤ[x] où x est un «entier algébrique» (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini, «le groupe des classes d’idéaux», dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.
Dans une première partie du cours, on cherche à se familiariser avec ces objets, en étudiant leurs propriétés de manière générale et en les illustrant sur des exemples concrets. On introduit ainsi les anneaux d'entiers des corps de nombres, on étudie leur structure et on démontre la propriété de factorisation unique des idéaux. On se penche tout particulièrement sur le cas des entiers quadratiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x de degré 2, et sur le cas des entiers cyclotomiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x racine de l'unité. Une fois ce cadre mis en place, on s'intéresse à ce que l'on appelle la « géométrie des nombres ». Développée par Minkowski, elle permet d'étudier les réseaux dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On utilise ensuite cette théorie pour démontrer un théorème important de la théorie algébrique des nombres: la finitude des classes. De nombreuses applications (liées par exemple à la représentation d'entiers comme sommes de carrés ou à la résolution d'équations diophantiennes) illustrent le cours.
Dans une deuxième partie du cours, on se penche sur des objets qui encodent les informations locales en arithmétique, à savoir les corps p-adiques. On les définit, on étudie leurs propriétés algébriques et analytiques de base, puis on démontre deux résultats fondamentaux: le lemme de Hensel et le théorème d’approximation faible.
Finalement, dans une troisième partie du cours, on développe quelques outils de théorie analytique des nombres. On étudie notamment la fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet. Cela nous permet de démontrer le théorème de la progression arithmétique.
On conclut le cours en prouvant le théorème de Hasse-Minkowski, qui constitue une très belle application de tous les outils précédemment développés dans le cours.
Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.
Exemples de sujets d'EA
-Le théorème de Cébotarev.
-Dimension diophantienne des corps.
-Entiers de la forme x^2+ny^2.
-Equation aux S-unités.
-Cohomologie galoisienne.
-Dynamique arithmétique.
-Théorème de Kronecker-Weber.
Bibliographie
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84
« Algebraic Number Theory », J. Neukirch
« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.
« Cours d'arithmétique », J.-P. Serre
« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.
Langue du cours : French or English, depending on the demand
