Dans la première partie du cours, nous parlerons de regression logistique. D'une part, ce modèle est simple et essentiellement connu de tous. D'autre part, plusieurs articles récents (autour de l'année 2020 et après) publiés dans les meilleures revues démontrent des résultats fins sur l'existence de cet estimateur et montrent des bornes de plus en plus précises sur le risque non asymptotique de cet estimateur. Aucune de ces bornes n'est cependant précise. Dans un cadre élémentaire mais générique, nous montrerons comment obtenir des bornes plus fines que toutes celles publiées. Nous introduirons pour cela des techniques classiques de localisation et de probabilité suffisantes dans ce problème et facilement réutilisables dans d'autres. Pour valider le cours, vous pourrez présenter les articles récents traitant de la régression logistique que nous aurons l'occasion d'évoquer en cours.
La seconde partie du cours traitera de problèmes de clustering de graphes aussi connus sous le nom de détection de communautés. L’objectif est d’analyser la performance de méthodes spectrales pour le clustering sur certains modèles probabilistes de graphes aléatoires possédant une structure de clusters sous-jacente. On y introduira des résultats sur la continuité des propriétés spectrales (valeurs propres et vecteurs propres) de matrices, et notamment de matrices d’adjacence de graphes. On introduira aussi des résultats bornant le rayon spectral de matrices aléatoires. Ces outils permettront d’établir des résultats de consistance de méthodes spectrales pour le clustering de graphes dits « modèles stochastiques par bloc ». On appliquera aussi ces méthodes spectrales au problème dit de la « clique plantée ». Ceci fournira une illustration d’un phénomène caractéristique des statistiques en grande dimension : les méthodes d’estimation en temps polynomial connues ne fonctionnent que pour un rapport « signal/bruit » au-delà d’un seuil critique strictement supérieur au seuil critique pour les méthodes d’estimation en temps non nécessairement polynomial.
