Le but de cet enseignement est d’exposer les fondamentaux modernes de la théorie de la mesure et de l’intégration; tels qu’ils ont été pensés par Henri Léon Lebesgue et Émile Borel au début du siècle dernier. En motivant le développement des ces concepts par le biais (sensiblement anachronique) du problème de transport optimal; formulé par Gaspard Monge en 1781 et remis au goût du jour par Leonid Kantorovich en 1942; ce cours vise principalement à munir les étudiants qui le suivront de connaissances solides en théorie de l’intégration; en insistant particulièrement sur ses aspects géométriques et fonctionnels. Durant la première partie du cours; on introduira les objets fondamentaux que sont les mesures et leurs tribus; en suivant la construction analytique par les mesures extérieures inspirée par l’ouvrage d’Evans et Gariepy. Nous ne manquerons évidemment pas d’expliciter son lien avec l’approche probabiliste classique et les notions de mesures complétées. On établira ensuite les principaux résultats de régularité pour les mesures – intérieure; extérieure; Radon –; et l’on démontrera le critère de Carathéodory permettant de vérifier si une mesure extérieure générale est Borélienne. On concluera ce premier volet par la construction de la mesure de Lebesgue et l’énoncé de ses propriétés fondamentales; et l’on survolera (si le temps le permet) ses généralisations naturelles à des objets de dimension inférieure que sont les mesures de Hausdorff. La deuxième partie de cet enseignement sera dédiée à la théorie des fonctions mesurables et de l’intégration au sens de Lebesgue. Après une courte discussion des limitations intrinsèques de la notion d’intégrale au sens de Riemann; on introduira la définition des fonctions mesurables et l’on discutera quelques unes de leurs propriétés élémentaires. On présentera ensuite les résultats fondamentaux de Lusin et d’Egorov; qui permettent de mieux appréhender la structure de ces dernières ainsi que leurs liens avec les objets plus familiers que sont les fonctions continues; et l’on montrera enfin le résultat fondamental d’approximation ponctuelle par les fonctions étagées. A partir de ce dernier; nous serons à même de définir l’intégrale d’une fonction mesurable au sens de Lebesgue; et d’établir les théorèmes classiques de convergence (Fatou; monotone et dominée). On concluera en démontrant les théorèmes de Tonelli et Fubini sur les mesures produits; et en présentant succinctement le théorème de désintégration. La troisième et dernière partie de ce cours se focalisera sur les aspects fonctionnels de la théorie de la mesures; en ayant pour objectif de revenir à l’étude du problème de transport optimal. Partant de l’observation que les mesures de Radon forment un espace de Banach lorsqu’elles sont munis de la norme dite de variation totale; on notera que ce dernier se trouve être naturellement inclus dans le dual topologique des fonctions continues à support compact. Ces éléments nous mèneront à énoncer et prouver le théorème de représentation de Riesz; qui affirme qu’en réalité; ces deux espaces coïncident. On introduira enfin la topologie tendue des mesures de probabilité et le théorème de compacité de Prokhorov; à partir desquels on montrera que le problème de transport optimal est bien posé dans sa forme relaxée sur les mesures de probabilité due à Kantorovich.
L’immunologie est un champ disciplinaire de la Biologie qui s’intéresse aux mécanismes cellulaires et moléculaires permettant à l’organisme de se défendre contre les éléments dangereux tels que des agents étrangers (bactéries; virus…) ou des cellules malades. Le cours à pour but de présenter de manière globale le fonctionnement et les dysfonctionnements du système immunitaire avec un intérêt particulier pour les enjeux médicaux actuels et l’impact de l’immunologie sur les biotechnologies et la production de médicaments innovants.Nous verrons que l’organisme; capable de distinguer le « soi » du « non soi »; est armé de deux systèmes de protection visant à éliminer ou neutraliser l’agresseur. Le premier; dit « inné »; est un système qui n’est pas spécifique de l’agent étranger. Il existe préalablement à tout contact avec l’agent et se déroule de manière immédiate; toujours de la même manière : phagocytose initiée et entretenue par l’inflammation. Le second; dit « adaptatif »; implique un phénomène de reconnaissance spécifique de l’élément étranger et une mémoire immunologique. Les acteurs de cette réaction spécifiques sont les lymphocytes B; qui produisent les anticorps; et les lymphocytes T. Nous verrons en outre comment cette immunité se met en place au cours de la vie fœtal.Le système immunitaire; mécanisme puissant qui permet à l’organisme de conserver son intégrité; est néanmoins impliqué dans de nombreuses maladies. A travers quelques exemples de maladies; nous détaillerons ainsi deux aspects de l’immunopathologie. Dans certains cas; le système immunitaire se tourne par erreur contre le « soi » et détruit les cellules de l’organisme. Ce dérèglement est à l’origine des maladies auto-immunes telles que certains diabètes. Dans d’autres cas; le système immunitaire n’est pas assez efficace pour défendre l’organisme qui peut devenir extrêmement vulnérable face aux infections. De tels déficits immunitaires peuvent être héréditaires ou acquis suite à une infection comme dans le cas du SIDA.En lien avec la compréhension du fonctionnement normal et pathologique du système immunitaire; ce cours visent aussi à détailler plusieurs aspects des innovations actuelles en immunologie tant pour la production d’outils diagnostics (dépistage des maladies) que thérapeutiques.
Ce cours a pour but d’enrichir ses connaissances en biologie moléculaire et cellulaire ou en génomique. Ce cours abordera également les principales méthodes d’analyse utilisées aujourd’hui dans ces branches de la biologie. Seront également évoqués quelques axes de la recherche actuelle qu’elle soit fondamentale ou appliquée à la santé.
Avant le 17ème siècle on caractérisait un fluide par son absence de résistance au cisaillement. Depuis Newton; on connaît la notion de viscosité et ses effets sur les écoulements. Les fluides dont on pouvait négliger les effets visqueux ont été qualifiés de 'parfaits'; les autres sont devenus … 'réels'. Le succés de ces deux modèles est étroitement lié aux développements industriels du 19ème et du début du 20ème siècle : hydrodynamique et industrie navale; aérodynamique et industrie aéronautique; combustion et machines thermiques … Si le modèle de fluide Newtonien s'est révélé être une très bonne approximation du comportement de l'air ou de l'eau; rares sont les fluides qui nous entourent; qui obéissent à cette modélisation : On les appelle souvent les FLUIDES COMPLEXES.
La magnétohydrodynamique est omniprésente dans l'industrie ou dans la nature. Notamment un des phénomènes le plus étudié et qui reste encore à comprendre est la dynamo terrestre. A partir de cet exemple on introduit les notions de couplage avec la force de Lorentz (cœur de la thématique). Puis on s’attachera à compléter les notions abordées à travers l'étude des nombreuses applications dans l’industrie : pompe électromagnétique dans les réacteurs de 4ème génération; cellule d’électrolyse pour la production d’aluminium… Nous présenterons ce domaine par le biais des applications; afin de donner un premier exemple de systèmes couplés qu'ils rencontreront probablement dans le futur.
Parmi les « techniques avancées »; la photonique occupe une place croissante. Elle s’appuie sur des dispositifs permettant la génération; la transmission; le traitement; la conversion et l’enregistrement de signaux optiques ; elle a de très nombreuses applications dans l’industrie; dans la recherche scientifique et en médecine. Nous vous proposons un module d’enseignement qui vous fournira les bases nécessaires en physique laser et en optique ondulatoire (« optique de Fourier »). Nous nous appuierons sur ces bases pour vous présenter des applications choisies : microscopies avancées; optométrie; optique adaptative; accélération de particules; chirurgie laser et diagnostic moderne en médecine. Nous ferons intervenir des spécialistes dans ces domaines et nous vous proposons des visites de laboratoire où vous pouvez voir un nombre de techniques en application. Vous pourrez mettre en œuvre vos connaissances dans le cadre de projets pratiques sur des dispositifs disponibles au laboratoire d’enseignement expérimental de l’IOGS.
Ce cours présente les fondements de la relativité générale d'Einstein, en suivant une progression allant de la géométrie différentielle jusqu'aux applications physiques. On part des rappels de relativité restreinte et des outils mathématiques nécessaires (variétés, tenseurs, connexion, courbure), pour aboutir aux équations d'Einstein et à leurs solutions exactes. Les applications physiques couvrent la solution de Schwarzschild et ses tests classiques, les trous noirs, la cosmologie relativiste, et les ondes gravitationnelles. Certaines séances sont assurées par des experts invités intervenant sur leur domaine de spécialité.
Ce cours présente de façon détaillée la théorie de la Relativité Générale d'Einstein. La démarche est progressive; elle aboutit à établir les équations d'Einstein et à étudier plusieurs applications de cette théorie à la physique des trous noirs et principalement à la cosmologie. La physique microscopique est née au début du vingtième siècle. Elle a révolutionné la société par la compréhension qu'elle a apporté sur la structure de la matière et les interactions fondamentales. Elle a engendré d'innombrables applications et retombées techniques : l'énergie nucléaire et les accélérateurs de particules pour la médecine et les sciences des matériaux en sont des exemples emblématiques. La physique des particules et la physique nucléaire représentent des enjeux de société importants; à la fois culturels par la vision du monde qu'elles proposent; économiques par les produits qui en dérivent; et de rapprochement des nations à travers de très nombreuses collaborations internationales. Le cours évoluera sans cesse entre le point de vue physique renouvelé sur l'Univers que permet la Relativité Générale et l'élaboration du bagage mathématique nécessaire à la description relativiste covariante de notre continuum espace-temps-matière. Il permettra de mettre en évidence le lien profond entre la physique moderne et la géométrie et resitue quelque peu les développements de physique fondamentale de l'Univers par rapport aux conceptions philosophiques sous jacentes. La physique est avant tout une démarche et une méthode. Elle définit un langage pour décrire les phénomènes naturels. Elle propose des modèles ou des théories pour les organiser; comprendre leurs relations et prédire leur occurrence. Elle repose sur l'expérimentation et la mesure; ses acquis sont universellement partagés et sont toujours en évolution Le cours est une introduction détaillée de la physique des particules et de son modèle standard. On abordera aussi quelques notions de base de physique nucléaire et on donnera quelques exemples d'utilisation de la physique corpusculaire. Le cours s'appuie sur les cours de mécanique quantique; de relativité restreinte et de théorie des champs classiques. Le cours comprend dix séances de trois heures; chaque séance intégrant cours et exercices. Beaucoup des calculs du cours seront abordés comme des exercices. Suivant le nombre d'étudiants inscrits; l'évaluation pourra être une combinaison d'un examen écrit; d'un contrôle continu; et d'exposés portant sur des sujets au choix.
