Ce cours présente les fondements mathematiques; ainsi que les aspects pratiques; de la méthode des éléments finis; qui permet notamment de résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) issues de la physique; de la mécanique; de la finance; et de bien d'autres domaines. Dans sa partie la plus fondamentale; nous commencerons par positionner brièvement la méthode des éléments finis par rapport à d'autres méthodes numériques; avant d'aborder la classification des EDP (elliptique; parabolique; hyperbolique). Dans la suite; nous nous concentrerons sur la discrétisation des EDP elliptiques.Nous développerons les outils théoriques permettant de résoudre ces EDP; avec en particulier la théorie variationnelle.Nous passerons ensuite à la discrétisation de ces EDP à l'aide de la méthode dite de Galerkin; qui englobe notamment la méthode des éléments finis (l'analyse de convergence sera réalisée à cette occasion).Dans la partie la plus concrète du cours; nous proposerons une présentation algorithmique de la méthode; intimement liée à son l'implémentation sur ordinateur. La mise en oeuvre informatique sera expérimentée lors de plusieurs séances de TP; réalisées en Matlab. L'accent sera mis sur la résolution numérique de problèmes 'tests'.Des extensions de la méthode des éléments finis; incluant notamment la discrétisation d'EDP paraboliques ou hyperboliques; seront présentées dans le cadre du cours MAP-ANN2.Remarque: ce cours compte pour 3 ECTs pour l'obtention du M1-Mathématiques Appliquées
La Recherche Opérationnelle (R.O.) est la discipline des méthodes scientifiques utilisables pour élaborer de meilleures décisions. Elle permet de rationaliser; de simuler et d'optimiser l'architecture et le fonctionnement des systèmes de production ou d'organisation. La R.O. apparaît comme une discipline-carrefour associant les mathématiques; l'économie et l'informatique.Les apports de la R.O. sont visibles dans les domaines les plus divers : de l'organisation des lignes de production de véhicules à la planification des missions spatiales; de l'optimisation de portefeuilles bancaires à l'aide au séquençage de l'ADN ou à l'organisation de la couverture satellite des téléphones portables…Tous ces problèmes sont de nature discrète ou combinatoire. Si l'existence d'une solution optimale est en général triviale; sa recherche de manière énumérative; même effectuée par les ordinateurs les plus puissants; pourrait demander plusieurs siècles de calcul.Le but du cours est de familiariser les élèves avec l'optimisation combinatoire et de leur faire connaître des outils qui permettent de résoudre les problèmes les plus faciles; en particulier les graphes et la programmation mathématique.
Présentation des stratégies industrielles à l'ère de l'économie de l'innovation mondialisée.
Le cours est consacré aux écoulements où les phénomènes de compressibilité ne sont plus négligeables. L'étude sera menée pour les fluides non visqueux et repose sur l'exploitation soignée des équations de bilan (masse; quantité de mouvement; énergie et entropie). L'étude des écoulements isentropiques stationnaires ou instationnaires dans des conduites de sections constantes ou variables permettra de mettre en évidence la particularité des écoulements supersoniques et l'apparition des surfaces de discontinuité.Le passage d'un bilan sous forme globale à une écriture locale permet en cas de présence dans le domaine de surfaces de discontinuités; de dégager clairement les relations de sauts qui relient les grandeurs thermomécaniques de part et d'autre des lieux de discontinuités. Les différents chocs seront alors étudiés; tout comme les ondes de détente.L'accent sera mis sur la compréhension des phénomènes physiques et techniques mathématiques; par exemple la méthode des caractéristqiues.
Ce cours constitue une introduction aux modèles de comportement non linéaire en général et à la plasticité en particulier. Il s'agit de comprendre la nécessité pour l'ingénieur de disposer d'outils pour décrire le comportement non linéaire et les effets mécaniques qu'il engendre. Comprendre les non linéarités permet ainsi de concevoir des structures mécaniques en les limitant au maximum dans un régime de fonctionnement linéaire ou de rendre cette conception robuste et durable si on ne peut les éviter. Il s'agit ainsi d'introduire les protocoles expérimentaux nécessaires à la bonne compréhension des phénomènes non linéaires; de les analyser et de proposer les outils mathématiques adéquats pour représenter le comportement au travers d'un modèle. Ce dernier sera ensuite utilisé pour estimer l'évolution d'une structure soumise à différents chargements mécaniques et permettra de concevoir de manière fiable. Le cours s'attachera donc à explorer les origines physiques des comportements non linéaires; à présenter les modèles les plus simples pour les décrire et à estimer leur domaine de validité. La plasticité des métaux ainsi que la viscoplasticité et l'endommagement seront particulièrement étudiés.
Ce cours aborde la mécanique des structures minces. La méthode des puissances virtuelles; extrêmement générale; est ici formalisée pour des structures unidimensionnelles; à savoir des poutres et des assemblages de poutres. Le choix d'une description géométrique des structures considérées conduit ainsi à une modélisation des efforts intérieurs et aux équations du mouvement. La loi de comportement est ensuite précisée : il s'agit pour ce cours du comportement thermoélastique linéaire.L'application du modèle ainsi construit permet alors l'analyse statique des assemblages de poutres; dans le cadre linéaire (transformations géométriques faibles; comportement élastique linéaire). La question de la perte de stabilité (charge critique de flambement) de la réponse élastique est enfin abordée.
