FMA_9PK06_EP - Le problème de Toeplitz ou problème du carré inscrit (2025-2026)
Résumé de section
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Bonjour,
Je vous remercie pour votre participation à ce cours et pour vos questions.
Je vous propose un sondage anonyme pour avoir votre avis sur un certain nombre de questions. Je compte sur votre sérieux pour les réponses (que j'espère nombreuses). Elles me permettront de modifier le cours et de l'améliorer.
Renseigner le sondage ne devrait pas vous prendre trop de temps. ATTENTION : il faut absolument répondre à la question posée avant de pouvoir passer à la question suivante.
Merci,
Frank Pacard
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Les étudiants doiventConsulter
Un articule très complet, peut-être un peu trop difficile, mais vous pouvez essayer de le comprendre. vous reconnaitrez certainement dans les sections 7 et 10, les dessins que j'ai faits pendant le cours.
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Les étudiants doiventConsulter
L'article de Arnold Emch dont j'ai tiré la démonstration de la conjecture de Toeplitz dans le cas des courbes convexes.
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Les étudiants doiventConsulter
Dans cet article (assez difficile à lire) vous retrouverez des résultats sur la Conjecture de Toeplitz . Vous reconnaitrez également le théorème de Paul Levy page 66-68 (A hill in flatland). La Conjecture de Toeplitz est traitée à partir de la page 69 (Planar Closed curves).
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Les étudiants doiventConsulter
Ce sont les slides d'un exposé (donc pas d'explications). Vous reconnaitrez néanmoins plusieurs résultas que nous avons vus et notamment la démonstration de l'existence d'un rectangle inscrit.
A noter pour démontrer l'existence d'un rectangle inscrit, nous avons considéré l'application v définie Slide 10 (j'avais appelé cette application
). J'avais ensuite recollé à l'image de la bande bande de Möbius par , un disque correspondant à l'intérieur de la courbe 
et j'avais obtenu un plan projectif. Ici, l'auteur préfère dans cet exposé compléter l'image de la bande de Möbius par
en la recollant avec la surface symétrique par rapport au plan horizontal et il obtient alors le "recollement" de deux bandes de Möbius, donc une bouteille de Klein.
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Le lien Zoom pour tous les cours de la semaine
https://ecolepolytechnique.zoom.us/j/99416601667?pwd=PbhsLtcrKupOroELmKf1ZaWeGalaRP.1
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Code secret: 120193
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- Les réels, la propriété de la borne supérieure et le ... théorème des valeurs intermédiaires.
- Le Théorème la corde universelle de Paul Levy.
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Paul Lévy
- La régularité des courbes : courbes continues, dérivables, plusieurs fois dérivables, dérivables une infinité de fois, analytiques, etc
- Les courbes de (Camille) Jordan et le théorème de Jordan.
Camille Jordan
- Énoncé du problème de Toeplitz.
Otto Toeplitz
Conjecture de Toeplitz : Est-ce que toute courbe de Jordan admet un carré inscrit ?
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- La question de la régularité des fonctions : continuité, dérivabilité, fonctions plusieurs fois dérivables, etc.
- Solution du problème de Toeplitz pour une courbe de Jordan symétrique par rapport à un point.
- Solution du problème de Toeplitz pour une courbe de Jordan formée par un intervalle de l'axe des abscisses et le graphe d'une fonction définie sur cet intervalle.
- Solution du problème de Toeplitz pour une courbe de Jordan strictement convexe.
- Problème du triangle inscrit : résolution pour un triangle équilatéral, pour un triangle quelconque. -
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- La construction de "surfaces" : le cylindre, le tore, la bouteille de Klein, le plan projectif.
- La question de l'orientabilité.
- Classification des surfaces orientables et des surfaces non orientables (saison I).
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- Classification des surfaces (saison II).
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- Preuve du fait que, sur toute courbe simple fermée suffisamment régulière, il existe 4 points qui sont les sommets d'un rectangle.
- (Si le temps le permet) Inversion de la sphère : un résultat étonnant de S. Smale.
- (Si le temps le permet) Inversion du tore : toujours aussi étonnant mais peut-être plus simple à visualiser.
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